Question

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=（2sinB，

3

），

n

=（cosB，cos2B），且

m

⊥

n

（Ⅰ）求锐角B的大小，
（Ⅱ）如果b=2，求ac的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

m

⊥

n

?

m

•

n

=0，两角和的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出；
（II）利用余弦定理和基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

⊥

n

，
∴2sinBcosB+

3

cos2B=0，
∴sin2B+

3

cos2B=0，
∴2(

1

2

sin2B+

3

2

cos2B)=0，
∴sin(2B+

π

3

)=0，
又0＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜2B+

π

3

＜

4π

3

，
∴2B+

π

3

=π，
解得B=

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
∴2²=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤4．当且仅当a=c时取到等号，
∴ac的最大值为4．

点评：本题考查了

m

⊥

n

?

m

•

n

=0、两角和的正弦公式及正弦函数的单调性、余弦定理和基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．