Question

（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点.
（Ⅰ）求证：AB₁//面BDC₁；
　 （Ⅱ）求二面角C₁—BD—C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA­₁上是否存在点P，使得
CP⊥面BDC₁？并证明你的结论.
 

 

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）
（Ⅲ）略

（I）证明：
连接B₁C，与BC₁相交于O，连接OD
∵BCC₁B₁是矩形，
∴O是B₁C的中点.
又D是AC的中点，

∴OD//AB₁.………………………………………………2分
∵AB_­1面BDC_­1，OD面BDC₁，
∴AB₁//面BDC₁.…………………………………………4分
（II）解：如力，建立空间直角坐标系，则
C₁（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）……………………5分
设=（x₁，y₁，z₁）是面BDC₁的一个法向量，则

即.…………6分
易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.
.…………………………8分
∴二面角C₁—BD—C的余弦值为.………………………………9分
（III）假设侧棱AA₁上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC₁.
则
∴方程组无解.
∴假设不成立.
∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁.……………14分