Question

若函数f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对x∈[0，3]，都有f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=m有三个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导，进而分析出f′（x）＞0和f′（x）＜0对应的区间，进而结合导函数符号与原函数单调性的关系，得到结论；
（2）由（1）可得f（x）在[0，2）上为减函数，在（2，3]上为增函数，比较f（0）与f（3）后得到函数的最大值，即可得到实数c的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=m有三个解，则m值介于函数两个极值之间，结合（1）的结论求出极值，即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

3

x³-4x+4．
∴f′（x）=x²-4，
当x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（-2，2）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上为增函数，在（-2，2）上为减函数；
（2）由（1）知，f（x）在[0，2）上为减函数，在（2，3]上为增函数，
∵f（0）=4，f（3）=1，
故x∈[0，3]时，f（x）的最大值为4，
若对x∈[0，3]，都有f（x）＜c恒成立，
则c＞4，
（3）由（1）知，函数f（x）在x=-2时，取极大值

28

3

，在x=2时，取极小值-

4

3

，
若关于x的方程f（x）=m有三个解，
则-

4

3

＜m＜

28

3

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查方程根的存在性及个数判断，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．