Question

15．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（　　）

• A． $\frac{40\sqrt{10}}{3}$π
• B． $\frac{64\sqrt{2}}{3}$π
• C． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• D． 8π

Answer 1

分析 利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为为$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，求出AA₁，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的体积．

解答 解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×$AA₁=$\sqrt{3}$
∴AA₁=2，
∵BC=$\sqrt{3}$，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圆的半径R=1，
∴外接球的半径为$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴球的体积等于$\frac{4}{3}π•（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π，
故选：C．

点评 本题考查球的体积，考查棱柱的体积，考查学生的计算能力，属于基础题．