Question

15．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos²x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-1）．函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由数量积的坐标表示列式，利用二倍角公式降幂后结合两角差的正弦化简，则周期可求，再由复合函数的单调性求得函数的单调递增区间；
（2）由x的范围求出相位的范围，从而求得函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos²x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-1）．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinxcosx-co{s}^{2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
∴当2x$-\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$，即x=0时，函数f（x）有最小值为-1；
当2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）有最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的图象和性质，训练了三角函数中恒等变换的应用，是中档题．