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设向量
m
=(
3
sin 2x,sin x+cos x),
n
=(1,sin x-cos x),其中x∈R,函数f(x)=
m
n
. 
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若f(θ)=
3
,其中0<θ<
π
2
,求θ的值.
分析:(1)利用向量的坐标运算及两角和与差的正弦公式可将f(x)化简为f(x)=2sin(2x-
π
6
),从而可求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)0<θ<
π
2
⇒-
π
6
<2θ-
π
6
6
,①由f(θ)=
3
⇒2sin(2θ-
π
6
)=
3
,②二者联立即可求得θ的值.
解答:解:(1)∵
m
=(
3
sin2x,sinx+cosx),
n
=(1,sinx-cosx),
∴f(x)=
m
n

=
3
sin2x+(sinx+cosx)(sinx-cosx)
=
3
sin2x+(sin2x-cos2x)
=
3
sin2x-cos2x
=2(
3
2
sin2x-
1
2
cos2x)
=2sin(2x-
π
6
),
∴f(x)的最小正周期T=π;
由2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)得:
kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
(k∈Z),
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
](k∈Z).
(2)∵f(θ)=2sin(2θ-
π
6
)=
3

∴sin(2θ-
π
6
)=
3
2

∵0<θ<
π
2

∴-
π
6
<2θ-
π
6
6

∴2θ-
π
6
=
π
3
或2θ-
π
6
=
3

∴θ=
π
4
或θ=
12
点评:本题考查向量的坐标运算及两角和与差的正弦公式,着重考查二倍角的余弦与辅助角公式的应用,考查正弦函数的单调性与求值,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(-1,cosωx+
3
sinωx)
n
=(f(x),cosωx)
,其中ω>0,且
m
n
,又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为
3
2
π

(Ⅰ)求ω的值.
(Ⅱ)设α是第一象限角,且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
,求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•许昌三模)设向量
a
=(
3
sinθ+cosθ+1,1),
b
=(1,1),θ∈[
π
3
3
],m是向量
a
 在向量
b
向上的投影,则m的最大值是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若向量
m
=(
3
sinωx,cosωx),
n
=(cosωx,-cosωx),已知函数f(x)=
m
n
(ω>0)的周期为
π
2

(1)求ω的值、函数f(x)的单调递增区间、函数f(x)的零点、函数f(x)的对称轴方程;
(2)设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,求此时函数f(x)的值域.

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科目:高中数学 来源:许昌三模 题型:单选题

设向量
a
=(
3
sinθ+cosθ+1,1),
b
=(1,1),θ∈[
π
3
3
],m是向量
a
 在向量
b
向上的投影,则m的最大值是(  )
A.
3
2
2
B.4C.2
2
D.3

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