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    已知向量m=(2x-2，2-
    		3
    y)，n=(
    		3
    y+2，x+1)    ，且m∥n，
    OM
    =(x，y)    （O为坐标原点）．
    （1）求点M的轨迹C的方程；
    （2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由．
    分析：（1）利用向量共线的条件，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m2+3）y2+4my-4=0，利用韦达定理表示，假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为
    OP
    =
    OA
    +
    OB
    ，从而可得P的坐标，代入椭圆方程，利用A，B在椭圆上，可求m的值，进而可求平行四边形OAPB的面积，即可得到结论．
    解答：解：（1）∵向量
    m
    =(2x-2，2-
    		3
    y)，
    n
    =(
    		3
    y+2，x+1)    ，且
    m
    ∥
    n

    ∴（2x-2）（x+1）-（2-
    		3
    y    ）(
    		3
    y+2)    =0
    化简可得，点M的轨迹C的方程为
    x2
    3
    +
    y2
    2
    =1    ；
    （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
    由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m2+3）y2+4my-4=0
    ∴y1+y2=-
    4m
    2m2+3
    ，y1y2=-
    4
    2m2+3

    假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为
    OP
    =
    OA
    +
    OB

    ∴P（x1+x2，y1+y2）
    ∴
    (x1+x2)2
    3
    +
    (y1+y2)2
    2
    =1
    ∴2
    x
    2
    1
    +3
    y
    2
    1
    +2
    x
    2
    2
    +3
    y
    2
    2
    +4x1x2+6y1y2=6
    ∵A，B在椭圆上，∴2
    x
    2
    1
    +3
    y
    2
    1
    =6，2
    x
    2
    2
    +3
    y
    2
    2
    ，=6
    ∴2x1x2+3y1y2=-3
    ∵y1+y2=-
    4m
    2m2+3
    ，y1y2=-
    4
    2m2+3

    ∴m=±
    		2
    2

    当m=
    		2
    2
    时，y1=-
    		2
    ，y2=
    		2
    2
    ，∴x1=0，x2=
    3
    2

    ∴
    OA
    =(0，-
    		2
    )，
    OB
    =(
    3
    2
    ，
    		2
    2
    )
    ∴cos∠AOB=
    OA
    •
    OB
    |
    OA
    ||
    OB
    |
    =-
    2
    11

    ∴sin∠AOB=
    3
    		11

    ∴平行四边形OAPB的面积为|
    OA
    ||
    OB
    |sin∠AOB=
    3
    2
    		2

    当m=-
    		2
    2
    时，同理可得平行四边形OAPB的面积为
    3
    2
    		2

    故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．
    点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，确定直线的方程是关键．
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    已知向量
    m
    =（1，1），
    q
    =（1，0），＜
    n
    ，
    p
    ＞=
    π
    2
     且
    m
    •
    n
    =-1；若△ABC的内角A，B，C依次成等差数列，且A≤B≤C；
    （1）若关于x的方程sin（2x+
    π
    3
     ）=
    m
    2
     在[0，B]上有相异实根，求实数m的取值范围；
    （2）若向量
    p
    =（cosA，2cos2
    C
    2
    ），试求|
    n
    +
    p
    |的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•青岛一模）已知向量
    m
    =(
    		3
    sin2x+t，cosx)    ，
    n
    =(1，2cosx)    ，设函数f(x)=
    m
    •
    n
    ．
    （Ⅰ）若cos(2x-
    π
    3
    )=
    1
    2
    ，且
    m
    ⊥
    n
    ，求实数t的值；
    （Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=3，b=1，且△ABC的面积为
    		3
    2
    ，实数t=1，求边长a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海二模）已知向量
    m
    =(sin(2x+
    π
    6
    )，sinx)    ，
    n
    =（1，sinx），f（x）=
    m
    •
    n
    ．
    （1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
    （2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
    B
    2
    ）=
    		2
    +1
    2
    ，b=
    		5
    ，c=
    		3
    ，求a的值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知向量m=(2x-2，2-
    		3
    y)，n=(
    		3
    y+2，x+1)    ，且m∥n，
    OM
    =(x，y)    （O为坐标原点）．
    （1）求点M的轨迹C的方程；
    （2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由．

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