Question

【题目】若函数f（x）在其图像上存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”， 则下列函数：
①f（x）=x+ （x＞0）；
②f（x）=lnx（0＜x＜3）；
③f（x）=2sinx；
④f（x）= ．
其中为“柯西函数”的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x1 ， y1 ， x2 ， y2 ， |x1x2+y1y2|﹣ ≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2 ， y1=ky2取等号），若函数f（x）在其图像上存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值为0，则函数f（x）在其图像上存在不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），使得 共线，即存在点A、B与点O共线； 对于①，f（x）=x+ （x＞0）存在；
对于②，f（x）=lnx （0＜x＜3）不存在；
对于③，f（x）=2sinx存在；
对于④，f（x）= 存在．
故选：C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．