Question

如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁（底面是平行四边形的四棱柱）
①求证：平面AB₁D₁∥平面BDC₁；
②若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长相等且AB⊥平面BCC₁B₁，E为CD的中点，AC₁∩BD₁=0，求证：OE⊥平面ABC₁D₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知四边形BDD₁B₁是平行四边形，所以B₁D₁∥平面BDC₁，同理，AD₁∥平面BDC₁，由此能够证明平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（2）连接B₁C，交BC₁于M点，连接OM，由BC=BB₁，四边形BCC₁B₁是平行四边形，知BC₁⊥B₁C，M是BC₁的中点，由AB⊥平面BCC₁B₁，知平面ABC₁D₁⊥平面BCC₁B₁，由此能够证明OE⊥平面ABC₁D₁．
解答：证明：（1）∵平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，
∴四边形BDD₁B₁是平行四边形，
∴B₁D₁∥BD，
又∵B₁D₁?平面BDC₁，
∴B₁D₁∥平面BDC₁，
同理，AD₁∥平面BDC₁，
又∵BD₁∩AD₁=D₁，
∴平面AB₁D₁∥平面BDC₁．
（2）连接B₁C，交BC₁于M点，连接OM，
∵BC=BB₁，四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴BC₁⊥B₁C，M是BC₁的中点，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴平面ABC₁D₁⊥平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，即MC⊥平面ABC₁D₁，
又四边形ABC₁D₁是平行四边形
∴O是BD₁的中点∴
又∴
∴四边形OMCE是平行四边形
∴OE∥MC，
∴OE⊥平面ABC₁D₁．
点评：本题考查平在与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意空间思维能力的培养．