Question

在直角坐标系中，动点M到点P(

2

，

2

)的距离等于点M到直线x+y-

2

=0的距离的

2

倍，记动点M的轨迹为W，过点A（a，0）（a＞0）作一条斜率为k（k＜0）的直线交曲线W于B，C两点，且交y轴于点D．
（1）求动点M的轨迹，并指出它的三条性质或特征；
（2）求证：|AB|=|CD|；
（3）若|BC|=|BD|，求△OAD的面积．（O为坐标原点）

Answer 1

分析：（1）直接根据动点M到点P(

2

，

2

)的距离等于点M到直线x+y-

2

=0的距离的

2

倍，整理可得动点M的轨迹方程为为xy=1双曲线，再根据双曲线的性质写出其性质即可；
（2）直线方程为y=k（x-a），联立直线方程与双曲线方程整理求出BC中点以及AD的中点，只要中点坐标相同即可说明结论．
（3）先根据|BC|=|BD|，得到x₂=2x₁，结合上面的结论得到k和a之间的关系，再代入三角形的面积公式整理即可得到结论．

解答：解：（1）设M（x，y），
依题意有：

(x- 2 )2+(y- 2 )2

=

2

•

|x+y- 2 |

2

．化简得xy=1．
即动点M的轨迹方程为xy=1双曲线，其性质为                            （4分）
（1）焦点（

2

，

2

）（2）实轴长2

2

（3）虚轴长2

2

（4）对称性y=±x，（0，0）（5）渐近线x=0，y=0等                 （8分）
（2）直线方程为y=k（x-a），由

y=k(x-a) xy=1

得
kx²-kax-1=0．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中点为N（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

a

2

，y0=-

ka

2

．即N(

a

2

，-

ka

2

)．
又D（0，-ka）
∴AD中点也为N(

a

2

，-

ka

2

)．
由|AN|=|DN|，|BN|=|CN|，
可得|AB|=|CD|（14分）
（3）若|BC|=|BD|，可知x₁＜x₂，
则x₁=x₂-x₁，即x₂=2x₁，
又x1+x2=a，x1x2=-

1

k

，
消去x1，x2，可得ka2=-

9

2

．
又|OA|=a，|OD|=-ka，
∴S_△OCD=

1

2

|OA|•|OD|=

1

2

•a•(-ka)=

9

4

．（18分）

点评：本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系．解决本题的关键在于根据动点M到点P(

2

，

2

)的距离等于点M到直线x+y-

2

=0的距离的

2

倍，整理得到动点M的轨迹方程．