Question

如图，已知平面PAB⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AD：AB=3：2，△PAB为等边三角形，F是线段BC上的点且满足CF=2BF．
（1）证明：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求直线DF与平面PAD的所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取AB中点O，连结PO，由已知得PO⊥平面ABCD，从而AD⊥PO，又AD⊥AB，由此能证明平面PAD⊥平面PAB．
（2）以O为原点，OB为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DF与平面PAD的所成角的余弦值．

解答： （1）证明：取AB中点O，连结PO，
∵平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为等边三角形，
∴PO⊥AB，∴PO⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴AD⊥PO，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵AB∩PO=O，∴AD⊥平面PAB，
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB．
（2）解：以O为原点，OB为x轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AD=3，AB=2，则BF=1，CF=2，
D（-1，3，0），F（1，1，0），P（0，0，

3

），A（-1，0，0），

DF

=（2，-2，0），

AP

=（1，0，

3

），

AD

=（0，3，0），
设平面PAD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AP =x+ 3 z=0 n • AD =3y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，0，-1），
设直线DF与平面PAD的所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

DF

，

n

＞|=|

2 3

8 ×2

|=

6

4

，
∴cosθ=

1-( 6 4 )2

=

10

4

．
∴直线DF与平面PAD的所成角的余弦值为

10

4

．

点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．