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已知O为平面内一定点,设条件p:动点M满足
OM
=
OA
+λ(
AB
+
AC
),λ∈R;条件q:点M的轨迹通过△ABC的重心.则条件p是条件q的(  )
A、充要条件
B、充分不必要条件
C、必要不充分条件
D、既不充分也不必要条件
分析:
AB
+
AC
由向量的运算可知为以AB和AC为邻边的平行四边形的对角线,△ABC的重心为中线的焦点,条件p是否能推出条件q,即看M点是否在△ABC的中线上.
解答:解:条件p:动点M满足
OM
=
OA
+λ(
AB
+
AC
),设BC的中点为D,
则有
AM
=2λ
AD
,故
AM
AD
共线,所以A、M、D三点共线,
即点M在△ABC的中线AD上,故点M的轨迹通过△ABC的重心.即p?q;
反之,若点M的轨迹通过△ABC的重心,设△ABC的重心为G,
如M的轨迹为线段BG,当M在点B时,不存在λ使
OB
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)
成立.
故选B
点评:本题考查充要条件的判断、向量的运算等知识点,需要较强的综合能力,有一定的难度.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:天利38套《2009高考模拟试题汇编附加试题》、数学理科 题型:013

已知O为平面内一定点,设条件p:动点P满足λ∈R;条件q:点P的轨迹通过△ABC的重心.则条件p是条件q

[  ]

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

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科目:高中数学 来源: 题型:单选题

已知O为平面内一定点,设条件p:动点M满足数学公式=数学公式+λ(数学公式+数学公式),λ∈R;条件q:点M的轨迹通过△ABC的重心.则条件p是条件q的


  1. A.
    充要条件
  2. B.
    充分不必要条件
  3. C.
    必要不充分条件
  4. D.
    既不充分也不必要条件

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知O为平面内一定点,设条件p:动点M满足
OM
=
OA
+λ(
AB
+
AC
),λ∈R;条件q:点M的轨迹通过△ABC的重心.则条件p是条件q的(  )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年陕西省宝鸡中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

已知O为平面内一定点,设条件p:动点M满足=+λ(+),λ∈R;条件q:点M的轨迹通过△ABC的重心.则条件p是条件q的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

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