Question

16．已知a≥1，函数f（x）=4x+$\frac{9}{x+1}$+4（x∈[0，1]），g（x）=x³-3a²x-2a+16（x∈[0，1]）．
（1）求f（x）和g（x）的值域；
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可求f（x）的值域，利用导数判断函数g（x）的单调性，进行求解即可．
（2）条件等价为$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{max}≥f（x）_{max}}\\{g（x）_{min}≤f（x）_{min}}\end{array}\right.$，利用函数的值域建立不等式关系即可．

解答 解：（1）f（x）=4x+$\frac{9}{x+1}$+4=4（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
设t=x+1，∵x∈[0，1]，
∴t∈[1，2]），
则函数等价为h（t）=4t+$\frac{9}{t}$=4（t+$\frac{\frac{9}{4}}{t}$），则函数在[1，$\frac{3}{2}$]上单调递减，在[$\frac{3}{2}$，2]上单调递增，
则函数的最小值为h（$\frac{3}{2}$）=4×$\frac{3}{2}$+$\frac{9}{\frac{3}{2}}$=6+6=12，
h（1）=4+9=13，h（2）=8+$\frac{9}{2}$=$\frac{25}{2}$，
则最大值为h（1）=13，
则函数f（x）的值域为[12，13]．
g′（x）=3x²-3a²=3（x²-a²），（x∈[0，1]）．
∵a≥1，∴当x∈[0，1]时，g′（x）＜0．
即函数在[0，1]上单调递减，则函数的最大值为g（0）=16-2a，最小值为g（1）=-3a²-2a+17，
则函数的值域为[-3a²-2a+17，16-2a]．
（2）若?x₁∈[0，1]，?x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{max}≥f（x）_{max}}\\{g（x）_{min}≤f（x）_{min}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{16-2a≥13}\\{-3{a}^{2}-2a+17≤9}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{3}{2}}\\{a≥\frac{4}{3}或a≤-2}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}$≤a≤$\frac{3}{2}$，
即a的取值范围是[$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用导数法和基本不等式法是解决本题的关键．，考查学生的运算和推理能力．