Question

已知函数f （x）=2sin²(

π

4

+x)-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）若函数h （x）=f （x+t）的图象关于点(-

π

6

，0)对称，且t∈（0，π），求t的值；
（2）设p：x∈[

π

4

，

π

2

]，q：|f（x）-m|≤3，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式，对函数f （x）的解析式进行变形后，求出函数h （x）的解析式，再根据正弦函数的对称性和t的范围求出t的值；
（2）根据x的范围求出“2x-

π

3

”的范围，由正弦函数的性质求出f （x）的值域，即p的范围；再求出绝对值不等式：|f （x）-m|≤3的解集，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围．

解答：解：（1）由题意知，f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x-1=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x-1
=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-

π

3

），
∴h（x）的图象的对称中心为(

kπ

2

+

π

6

-t，0)，k∈Z，
又∵已知点(-

π

6

，0)为h（x）的图象的一个对称中心，
∴t=

kπ

2

+

π

3

(k∈Z)，
∵t∈（0，π），∴t=

π

3

或

5π

6

．
（2）若p成立，即当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[

1

2

， 1]，即f（x）∈[1，2]，
由|f（x）-m|≤3得，m-3≤f（x）≤m+3，
∵p是q的充分不必要条件，∴

m-3≤1 m+3≥2

，解得-1≤m≤4，
即m的取值范围是[-1，4]．

点评：本题考查了复合三角函数的性质问题，利用倍角公式和两角和差的正弦（余弦）公式对解析式进行化简，再根据正弦函数的性质进行求解，主要考查了“整体思想”和计算能力．