Question

某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与投资单位：万元）．

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
（2）将企业获利表示成对产品B投资x的函数；将函数中的换元为t，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．
解答：解：（1）设投资为x万元，
A、B两产品获得的利润分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，（3分）
又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；
解得
∴（8分）
（2）设对B产品投资x万元，则对A产品投资（10-x）万元，
记企业获取的利润为y万元，
则（10分）
设，则x=t²，
∴
当也即时，y取最大值（14分）
答：对B产品投资万元，对A产品投资万元时，
可获最大利润万元．
点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．