对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.
(Ⅰ)已知二次函数,试判断是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(Ⅱ)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若为定义域上的“局部奇函数”,求实数的取值范围.
(Ⅰ)是,理由详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
解析试题分析:(Ⅰ)判断方程是否有解;(Ⅱ)在方程有解时,通过分离参数求取值范围;(Ⅲ)在不便于分离参数时,通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布.
试题解析:解:为“局部奇函数”等价于关于的方程有解.
(Ⅰ)当时,
方程即有解,
所以为“局部奇函数”. 3分
(Ⅱ)当时,可化为,
因为的定义域为,所以方程在上有解. 5分
令,则.
设,则,
当时,,故在上为减函数,
当时,,故在上为增函数,. 7分
所以时,.
所以,即. 9分
(Ⅲ)当时,可化为
.
设,则,
从而在有解即可保证为“局部奇函数”. 11分
令,
1° 当,在有解,
由,即,解得; 13分
2° 当时,在有解等价于
解得. 15分
(说明:也可转化为大根大于等于2求解)
综上,所求实数m的取值范围为. 16分
考点:函数的值域、方程解的存在性的判定.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设是同时符合以下性质的函数组成的集合:
①,都有;②在上是减函数.
(1)判断函数和()是否属于集合,并简要说明理由;
(2)把(1)中你认为是集合中的一个函数记为,若不等式对任意的总成立,求实数的取值范围.
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定义在上的函数同时满足以下条件:①函数在上是减函数,在上是增函数;②是偶函数;③函数在处的切线与直线垂直.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设,若存在使得,求实数的取值范围.
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已知函数
(1)当时,求在上的最小值;
(2)若函数在上为增函数,求正实数的取值范围;
(3)若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根,求实数的取值范围.
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设函数的图像在处取得极值4.
(1)求函数的单调区间;
(2)对于函数,若存在两个不等正数,当时,函数的值域是,则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”,若存在,求出所有的“正保值区间”;若不存在,请说明理由.
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已知,直线与函数的图像都相切,且与函数的图像的切点的横坐标为1.
(1)求直线的方程及的值;
(2)若(其中是的导函数),求函数的最大值;
(3)当时,求证:.
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已知函 数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;
(2)若对于都有成立,试求的取值范围;
(3)记.当时,函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.
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