Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|．
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）若不等式 ≤f（x）有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令2x﹣1=0，得x= ，

令x﹣1=0，得x=1；

当x＜ 时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣（2x﹣1）+2（x﹣1）=﹣1；

当 ≤x≤1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）+2（x﹣1）=4x﹣3；

当x＞1时，函数f（x）=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=（2x﹣1）﹣2（x﹣1）=1；

∴f（x）= ，

作出函数f（x）的图象，如图所示；

（2）解：由函数f（x）的图象知，f（x）的最大值是1，

所以不等式 ≤f（x）有解，等价于 ≤1有解，

不等式 ≤1可化为 ﹣1≤0

（2a﹣1）（a﹣1）≥0（a≠1），解得a≤ 或a＞1，

所以实数a的取值范围是（﹣∞， ]∪（1，+∞）

【解析】（1）去掉绝对值，化简函数f（x），作出函数f（x）的图象即可；（2）由函数f（x）的图象知函数的最大值是1，问题等价于 ≤1有解， 求出解集即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．