【题目】已知函数f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|.
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)若不等式 ≤f(x)有解,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:令2x﹣1=0,得x= ,
令x﹣1=0,得x=1;
当x< 时,函数f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=﹣(2x﹣1)+2(x﹣1)=﹣1;
当 ≤x≤1时,函数f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=(2x﹣1)+2(x﹣1)=4x﹣3;
当x>1时,函数f(x)=|2x﹣1|﹣2|x﹣1|=(2x﹣1)﹣2(x﹣1)=1;
∴f(x)= ,
作出函数f(x)的图象,如图所示;
(2)解:由函数f(x)的图象知,f(x)的最大值是1,
所以不等式 ≤f(x)有解,等价于
≤1有解,
不等式 ≤1可化为
﹣1≤0
(2a﹣1)(a﹣1)≥0(a≠1),解得a≤ 或a>1,
所以实数a的取值范围是(﹣∞, ]∪(1,+∞)
【解析】(1)去掉绝对值,化简函数f(x),作出函数f(x)的图象即可;(2)由函数f(x)的图象知函数的最大值是1,问题等价于 ≤1有解, 求出解集即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.
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【题目】已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m,n的值,使
(1)l1与l2相交于点P(m,-1);则m=____,n=_______
(2)l1∥l2.则_________________
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【题目】已知集合A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R.
(1)求A∪B,(CUA)∩B;
(2)若A∩C≠,求a的取值范围.
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【题目】已知f(x)是定义在区间(0,+∞)内的单调函数,且对x∈(0,∞),都有f[f(x)﹣lnx]=e+1,设f′(x)为f(x)的导函数,则函数g(x)=f(x)﹣f′(x)的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的短轴长为2,过上顶点E和右焦点F的直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l过点(1,0),且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T(t,0)(t≠0),使得不论直线l的斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB (其中O为坐标原点),若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】点M(3,2)到拋物线C:y=ax2(a>0)准线的距离为4,F为拋物线的焦点,点N(l,l),当点P在直线l:x﹣y=2上运动时, 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)= (a,b∈R,且a≠0,e为自然对数的底数).
(1)若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为0,且f(x)有极小值,求实数a的取值范围.
(2)①当 a=b=l 时,证明:xf(x)+2<0; ②当 a=1,b=﹣1 时,若不等式:xf(x)>e+m(x﹣1)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数m的最大值.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
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