Question

3．已知函数f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$（n≥2），b₁=3，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求数列的通项；
（2）化简b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由裂项相消求和，计算即可得到所求．

解答 解：（1）因a_n+1=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{2+3{a}_{n}}{3}$=a_n+$\frac{2}{3}$，
所以a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}$，
故数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为公差，首项为1的等差数列，
则a_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$n；
（2）当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{9}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
当n=1时，上式也成立，
所以前n项和S_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{9}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{9n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的定义、通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．