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已知函数,其中是自然对数的底数,.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,试确定函数的零点个数,并说明理由.
(Ⅰ)的单调减区间为;单调增区间为;(Ⅱ)详见解析.

试题分析:(Ⅰ)求导得,,因为,所以的解集为,即单调递增区间;的解集为,即单调递减区间;(Ⅱ)函数,令,得,显然是一个零点,记,求导得,易知递减;递增,故的最小值,又,故,即,所以函数的零点个数1个.
试题解析:(Ⅰ)解:因为,所以
,得.当变化时,的变化情况如下:










 

的单调减区间为;单调增区间为
(Ⅱ)解:结论:函数有且仅有一个零点. 理由如下:
,得方程, 显然为此方程的一个实数解. 
所以是函数的一个零点. 当时,方程可化简为.设函数,则,令,得
变化时,的变化情况如下:










 

的单调增区间为;单调减区间为.所以的最小值.                 
因为 ,所以,所以对于任意,因此方程无实数解.所以当时,函数不存在零点.综上,函数有且仅有一个零点.                       考点:
练习册系列答案
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