Question

已知数列{a_x}和{b_x}满足：．且{b_x}是以
a为公比的等比数列．
（Ⅰ）证明：a_a+2=a₁a²；
（Ⅱ）若a_3n-1+2a₂，证明数例{c_x}是等比数例；
（Ⅲ）求和：…．

Answer 1

解：（I）证：由，有，∴a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（II）证：∵a_n=q_n-2q²，∴a_2n-1=a_2n-3q²═a₁q^2n-2，a_2n=a_2n-2q²═a₂q^n-2，∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．∴{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列．
（III）由（II）得，，于是==．
当q=1时，=．
当q≠1时，==．
故
分析：（I）由，知，由此可得a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（II）由题意知a_2n-1=a₁q^2n-2，a_2n=a₂q^n-2，所以c_n=a_2n-1+2a_2n=5q^2n-2．由此可知{c_n}是首项为5，以q²为公比的等比数列．
（III）由题设条件得，，所以=．由此可知
点评：本题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．