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已知:x∈N*,y∈N*,且 
1
x
+
n2
y
=1
(n∈N*).
(Ⅰ)当n=3时,求x+y的最小值及此时的x、y的值;
(Ⅱ)若n∈N*,当x+y取最小值时,记an=x,bn=y,求an,bn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设Sn=a1+a2+…+an,Tn=b1+b2+…+bn,试求
lim
n→∞
Tn
n•Sn
的值.
注:12+22+32+…+n2=
1
6
n(n+1)(2n+1)
分析:(Ⅰ)当n=3时,则有
1
x
+
9
y
=1
,x+y=(x+y)(
1
x
+
9
y
)=10+
y
x
+
9x
y
≥16
可求最小值及此时的x,y的值,
(Ⅱ)由
1
x
+
n2
y
=1
可得,x+y=(x+y)(
1
x
+
n2
y
)=n2+1+
y
x
+
n2x
y
≥(n+1)2
,当
x=n+1
y=n(n+1)
时取等号的条件可得an,bn
(Ⅲ)利用等差数列的求和公式可得Sn=a1+a2+…+an,利用分组组求和及等差、等比数列的求和公式可求Tn=b1+b2+…+bn,代入可求极限
解答:解:(Ⅰ)当n=3时,则有
1
x
+
9
y
=1

,x+y=(x+y)(
1
x
+
9
y
)=10+
y
x
+
9x
y
≥16

当且仅当
y
x
=
9x
y
,即
x=4
y=12
时,取等号.所以,当
x=4
y=12
时,x+y的最小值为16.
(Ⅱ)∵,
1
x
+
n2
y
=1
,∴,x+y=(x+y)(
1
x
+
n2
y
)=n2+1+
y
x
+
n2x
y
≥(n+1)2

当且仅当
y
x
+
n2x
y
,即
x=n+1
y=n(n+1)
时,取等号.所以,an=n+1,bn=n(n+1).
(Ⅲ)因为Sn=a1+a2+…+an=2+3+…+(n+1)=
1
2
n(n+3)

Tn=b1+b2+…+bn=(1+12)+(2+22)+(3+32)+…+(n+n2)=(1+2+3+…+n)+(12+22+…+n2)=
n(n+1)
2
+
1
6
n(n+1)(2n+1)
=
1
3
n(n+1)(n+2)

所以
lim
n→∞
Tn
n•Sn
=
2
3
点评:本题是一道综合性比较好的试题,题目中考查了基本不等式在求解最值及取得最值的条件中的应用,还考查了等差数列、等比数列的求和公式及分组求和的方法的应用.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的一次函数y=mx+n、设集合P={-2,-1,1,2,3}和Q={-2,3},分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,则函数y=mx+n是增函数的概率
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知关于x的一次函数y=mx+n.
(Ⅰ)设集合P={-2,-1,1,2,3}和Q={-3,2},分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n,求函数y=mx+n是增函数的概率;
(Ⅱ)实数m,n,满足条件
m+n-1≤0
-1≤m≤1
-1≤n≤1
,求函数y=mx+n在R单调递增,且函数图象经过第二象限的概率.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:x∈N*,y∈N*,且 
1
x
+
n2
y
=1
(n∈N*).
(Ⅰ)当n=3时,求x+y的最小值及此时的x、y的值;
(Ⅱ)若n∈N*,当x+y取最小值时,记an=x,bn=y,求an,bn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设Sn=a1+a2+…+an,Tn=b1+b2+…+bn,试求
lim
n→∞
Tn
n•Sn
的值.
注:12+22+32+…+n2=
1
6
n(n+1)(2n+1)

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科目:高中数学 来源:2009-2010年上海市华东师大二附中高三数学综合练习试卷(03)(解析版) 题型:解答题

已知:x∈N*,y∈N*,且 (n∈N*).
(Ⅰ)当n=3时,求x+y的最小值及此时的x、y的值;
(Ⅱ)若n∈N*,当x+y取最小值时,记an=x,bn=y,求an,bn
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设Sn=a1+a2+…+an,Tn=b1+b2+…+bn,试求的值.
注:

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