Question

已知函数f（x）=x³-ax．
（I）当a=3时，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（II）已知函数g（x）=ax（|x+a|-1），记h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，2]），当函数h（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出函数f（x）的导函数，然后求出f'（x）＞0求出函数的单调性，从而求出函数的最值；
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），讨论a的正负，以及a与2的大小求出函数f（x）的最大值，当a≥2时，必有h'（x）≤0，则h（x）在[0，2]上递减，则最大值为h（0）=0，满足题设，当0＜a＜2时求出最大值，使之等于0，求出a即可．

解答：解：（I）∵f（x）=x³-ax，∴f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
∵f'（x）＞0?x＞1或x＜-1，且x∈[-2，2]∴函数f（x）在[-2，-1]上递增，[-1，1]上递减，[1，2]上递增
∵f（-2）=f（1）=-2，∴f_min（x）=-2，∵f（0）=-2，而f（2）=2，∴f_max（x）=2
（II）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），
（1）当a≤0时，h（x）=x³-ax|x+a|≥0
∵h（0）=0，且0＜x≤2时h（x）＞0显然不符合题意
（2）当a＞0时，∵x≥0，h（x）=x³-ax²-a²x≥0
∴h'（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a）
∵x≥0，h'（x）＞0?x＞a
①当a≥2时，必有h'（x）≤0，∴h（x）在[0，2]上递减，则最大值为h（0）=0，满足题设
②当0＜a＜2时，∵h'（x）＞0?x＞a∴h（x）在[0，a]上递减，在[a，2]上递增
则h（x）_max=max（h（0），h（2））
∵h（0）=0只需h（2）≤0，即8-4a-2a²≤0
∴

5

-1≤a＜2
∴实数a的取值范围[

5

-1，+∞)

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分类讨论的思想，属于中档题．