Question

已知抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：

x2

9

+

y2

b

=1的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y²=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）设重心G（x，y），C（x′，y′）．则

x′=3x+4 y′=3y+3.

（*）．将（*）代入y²=4x中，得(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．由此可知△ABC重心的轨迹方程为(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．
（2）由y²=4x得F₂（1，0），所以椭圆方程为

x2

9

+

y2

8

=1．设P（x₁，y₁），由题意得2x₁²+9x₁-18=0，解得x1=

3

2

，x1=-6（舍）．设点P到抛物线y²=4x准线的距离为PN，则|PF₂|=|PN|．由此能够推导出S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|PP1|=

6

．

解答：解：（1）设重心G（x，y），C（x′，y′）．
则

x= x′-4+0 3 y= y′+0-3 3 .

整理得

x′=3x+4 y′=3y+3.

（*）
将（*）代入y²=4x中，得(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．
所以，△ABC重心的轨迹方程为(y+1)2=

4

3

(x+

4

3

)．（5分）
（2）∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y²=4x得F₂（1，0），
∴b=8，椭圆方程为

x2

9

+

y2

8

=1．
设P（x₁，y₁），由

x 2 1 9 + y 2 1 8 =1 y 2 1 =4x1.

得2x₁²+9x₁-18=0，
∴x1=

3

2

，x1=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁．
设点P到抛物线y²=4x准线的距离为PN，则|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x1+1=

3

2

+1=

5

2

，
∴|PF2|=

5

2

，|PF1|=2a-|PF2|=

7

2

．
过点P作PP₁⊥x轴，垂足为P₁，
在Rt△PP₁F₁中，cosα=

5

7

，
在Rt△PP₁F₂中，cos(π-β)=

1

5

，cosβ=-

1

5

，
∴cosα•cosβ=-

1

7

，
∵x1=

3

2

，∴|PP1|=

6

．
∴S△PF1F2=

1

2

|F1F2|•|PP1|=

6

．（13分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．