【题目】在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且 =﹣ .
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
【答案】解:(1)由正弦定理 得: a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
将上式代入已知 ,
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,
即2sinAcosB+sin(B+C)=0,
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sinA,
∴2sinAcosB+sinA=0,即sinA(2cosB+1)=0,
∵sinA≠0,∴ ,
∵B为三角形的内角,∴ ;
(II)将 代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得:
b2=(a+c)2﹣2ac﹣2accosB,即 ,
∴ac=3,
∴
【解析】(1)根据正弦定理表示出a,b及c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后,根据sinA不为0,得到cosB的值,由B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数;(2)由(1)中得到角B的度数求出sinB和cosB的值,根据余弦定理表示出b2,利用完全平方公式变形后,将b,a+c及cosB的值代入求出ac的值,然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积,把ac与sinB的值代入即可求出值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若圆C与直线x﹣y+a=0交与A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.
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【题目】某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入﹣前n年的总支出﹣投资额).
(1)该厂从第几年开始盈利?
(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?
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【题目】某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60)[90,100]后,画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(Ⅰ) 求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图;
(Ⅱ) 估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(Ⅲ) 设学生甲、乙的成绩属于区间[40,50),现从成绩属于该区间的学生中任选两人,求甲、乙中至少有一人被选的概率.
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【题目】已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn , 若点(Sn﹣1 , an)(n≥2)在函数y=3x+4的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=log2 ,且bn=2n+1cn , 其中n∈N* , 求数列{cn}的前前n项和Tn .
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【题目】在公差大于0的等差数列{an}中,2a7﹣a13=1,且a1 , a3﹣1,a6+5成等比数列,则数列{(﹣1)n﹣1an}的前21项和为( )
A.21
B.﹣21
C.441
D.﹣441
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【题目】如图,有一直径为8米的半圆形空地,现计划种植果树,但需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要,该光源照射范围是 ,点E,F在直径AB上,且 .
(1)若 ,求AE的长;
(2)设∠ACE=α,求该空地种植果树的最大面积.
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