(07年重庆卷理)(13分)
如图,在直三棱柱ABC―中,
AB = 1,
;点D、E分别在
上,且
,四棱锥
与直三棱柱的体积之比为3:5。
(1)求异面直线DE与的距离;(8分)
(2)若BC =,求二面角
的平面角的正切值。(5分)
解析:解法一:(Ⅰ)因,且
,故
面
,
从而,又
,故
是异面直线
与
的公垂线.
设的长度为
,则四棱椎
的体积
为
.
而直三棱柱的体积
为
.
由已知条件,故
,解之得
.
从而.
在直角三角形中,
,
又因,
故.
(Ⅱ)如答(19)图1,过作
,垂足为
,连接
,因
,
,故
面
.
由三垂线定理知,故
为所求二面角的平面角.
在直角中,
,
又因,
故,所以
.
解法二:
(Ⅰ)如答(19)图2,以点为坐标原点
建立空间直角坐标系
,
则,
,
,
,则
,
.
设,则
,
又设,则
,
从而,即
.
又,所以
是异面直线
与
的公垂线.
下面求点的坐标.
设,则
.
因四棱锥的体积
为
.
而直三棱柱的体积
为
.
由已知条件,故
,解得
,即
.
从而,
,
.
接下来再求点的坐标.
由,有
,即
(1)
又由得
. (2)
联立(1),(2),解得,
,即
,得
.
故.
(Ⅱ)由已知,则
,从而
,过
作
,
垂足为,连接
,
设,则
,因为
,故
……………………………………①
因且
得
,即
……………………………………②
联立①②解得,
,即
.
则,
.
.
又,故
,
因此为所求二面角的平面角.又
,从而
,
故,
为直角三角形,所以
.
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