Question

11．（理）数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，对任意n∈N₊，有a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：对任意n∈N₊，有a_n+1=$\frac{2}{3}$S_n，
∴当n≥2时，${a}_{n}=\frac{2}{3}{S}_{n-1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}{a}_{n}$．
∴${a}_{n+1}=\frac{5}{3}{a}_{n}$，
又${a}_{2}=\frac{2}{3}×{a}_{1}$=$\frac{2}{3}$．
∴数列{a_n}从第二项开始为等比数列，a₂=$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{5}{3}$，
∴n≥2时，${a}_{n}={a}_{2}×{q}^{n-2}$=$\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{3}×（\frac{5}{3}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．