Question

抛物线y=ax²＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S_max．

Answer 1

依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x₁=0，x₂=－b/a，所以(1)
又直线x＋y=4与抛物线y=ax²＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组
得ax²＋(b＋1)x－4=0，其判别式必须为0，即(b＋1)²＋16a=0．
于是代入（1）式得：
，；　
令S'(b)=0；在b＞0时得唯一驻点b=3，且当0＜b＜3时，S'(b)＞0；当b＞3时，S'(b)＜0．故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=－1，b=3时，S取得最大值，且．