【题目】(本小题满分12分)已知函数,.
(Ⅰ)时,证明:;
(Ⅱ),若,求a的取值范围.
【答案】(1)证明详见解析;(2).
【解析】
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值等基础知识,意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.第一问,对求导,再构造函数进行二次求导,通过对的分析,得到的最小值,从而得到,判断得出在内单调递增,从而求出最小值;第二问,构造,对求导,需构造函数进行二次求导,结合第一问的结论,可得在单调递减,然后对、、进行讨论,证明的最大值小于等于0即可.
试题解析:(Ⅰ)令p(x)=f(x)=ex-x-1,p(x)=ex-1,
在(-1,0)内,p(x)<0,p(x)单减;在(0,+∞)内,p(x) >0,p(x)单增.
所以p(x)的最小值为p(0)=0,即f(x)≥0,
所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增,即f(x)>f(-1)>0. 4分
(Ⅱ)令h(x)=g(x)-(ax+1),则h(x)=-e-x-a,
令q(x)=-e-x-a,q(x)=-.
由(Ⅰ)得q(x)<0,则q(x)在(-1,+∞)上单调递减. 6分
(1)当a=1时,q(0)=h(0)=0且h(0)=0.
在(-1,0)上h(x)>0,h(x)单调递增,在(0,+∞)上h'(x)<0,h(x)单调递减,
所以h(x)的最大值为h(0),即h(x)≤0恒成立. 7分
(2)当a>1时,h(0)<0,
x∈(-1,0)时,h(x)=-e-x-a<-1-a=0,解得x=∈(-1,0).
即x∈(,0)时h(x)<0,h(x)单调递减,
又h(0)=0,所以此时h(x)>0,与h(x)≤0恒成立矛盾. 9分
(3)当0<a<1时,h(0)>0,
x∈(0,+∞)时,h(x)=-e-x-a>-1-a=0,解得x=∈(0,+∞).
即x∈(0, )时h(x)>0,h(x)单调递增,
又h(0)=0,所以此时h(x)>0,与h(x)≤0恒成立矛盾. 11分
综上,a的取值为1. 12分
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值;
(Ⅱ)若曲线与曲线相交于,两点,且与轴相交于点,求的值.
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【题目】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成,如图2.已知圆的半径为,设,圆锥的侧面积为.
(1)求关于的函数关系式;
(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
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【题目】我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表:
空气污染指数 | 空气质量 | 空气污染指数 | 空气质量 | |
0--50 | 优 | 201--250 | 中度污染 | |
51--100 | 良 | 251--300 | 中度重污染 | |
101--150 | 轻微污染 | >300 | 重污染 | |
151----200 | 轻度污染 |
我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天,101--200时称作B类天,大于200时称作C类天.下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本,其茎叶图如下:(百位为茎,十.个位为叶)
(1)从这18天中任取3天,求至少含2个A类天的概率;
(2)从这18天中任取3天,记X是达到A类或B类天的天数,求X的分布列及数学期望.
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