Question

已知函数f(x)=loga

x+1

x-1

（a＞0，a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域看是否关于原点对称，然后在用奇偶函数的定义判断，要注意到代入-x时，真数是原来的倒数，这样就不难并判断奇偶性．
（2）用单调性的定义进行证明，首先在所给的区间上任取两个自变量看真数的大小关系，然后在根据底的不同判断函数单调性．
（3）要根据第二问的结论，进行分类讨论，解出两种情况下的实数a与n的值．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），…（2分）
又f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=loga(

x+1

x-1

)-1=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
所以f（x）为奇函数．  …（4分）
（2）由（1）及题设知：f(x)=loga

x+1

x-1

，设t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
∴当x₁＞x₂＞1时，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁＜t₂．…（6分）
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）①当n＜a-2≤-1时，有0＜a＜1．
由（2）可知：f（x）在（n，a-2）为增函数，…（9分）
由其值域为（1，+∞）知

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

，无解  …（11分）
②当1≤n＜a-2时，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a-2）为减函数，
由其值域为（1，+∞）知

n=1 loga a-1 a-3 =1

…（13分）
得a=2+

3

，n=1．…（14分）

点评：本题主要考查了对数型函数的奇偶性和单调性的判断，要先看真数部分在看整体的先后顺序进行，还要注意对底数的讨论，总体来说本题很基础、很典型，是不得不练的好题．