【题目】设F(0,1),点P在x轴上,点Q在y轴上, =2
,
⊥
,当点P在x轴上运动时,点N的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点F的直线l交曲线C于A,B两点,且曲线C在A,B两点处的切线相交于点M,若△MAB的三边成等差数列,求此时点M到直线AB的距离.
【答案】
(1)解:设N(x,y),
∵点P在x轴上,点Q在y轴上, =2
,
⊥
,
∴P( ,0),Q(0,﹣y),
∵F(0,1),∴ =(
,y),
=(﹣
,1),
∵ ⊥
,∴
=﹣
+y=0,
∴曲线C的方程为x2=4y.
(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:y=kx+1,
联立 ,得x2﹣4kx﹣4=0,
则x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
直线MA的方程为 ,直线MB的方程为
,
联立 ,得M(2k,﹣1),
∴点M到直线AB的距离d=2 ,
∵kMAkMB= =﹣1,∴MA⊥MB,
∴|MA|2+|MB|2=|AB|2,①
∵△MAB的三边成等差数列,不妨设|MA|<|MB|,
∴|MA|+|AB|=2|MB|,②
由①②,得|MA|:|MB|:|AB|=3:4:5,
∵S△MAB= =
|AB|d,∴
=
,
又|AB|=4(k2+1),
∵ =
=
,∴
=
,
∴点M到直线AB的距离d=2 =
.
【解析】(1)设N(x,y),则P( ,0),Q(0,﹣y),由此根据题设条件能求出曲线C的方程.(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),直线l:y=kx+1,与椭圆联立,得x2﹣4kx﹣4=0,由此利用韦达定理、点到直线距离公式、等差数列、勾股定理、椭圆性质,结合已知条件能求出点M到直线AB的距离.
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【题目】已知向量 =(cosα,sinα),
=(﹣2,2).
(1)若 =
,求(sinα+cosα)2的值;
(2)若 ,求sin(π﹣α)sin(
)的值.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx﹣ )(其中A,ω为常数,且A>0,ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(α+ )=
,f(β+
)=
,且α,β∈(0,
),求α+β的值.
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【题目】椭圆的中心在原点O,短轴长为 ,左焦点为F(﹣c,0)(c>0),直线
与x轴交于点A,且
,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)若 ,求直线PQ的方程.
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【题目】在高校自主招生中,某学校获得5个推荐名额,其中清华大学2名,北京大学2名,复旦大学1名.并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象,则不同的推荐方法共有( )
A.20种
B.22种
C.24种
D.36种
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【题目】已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x= 处取得最大值,则函数y=f(x+
)是( )
A.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点( ,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点( ,0)对称
D.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
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