Question

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）求证：函数不存在“和谐区间”．
（2）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
（3）易知，函数y=x是以任一区间[m，n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的y=x及形如的函数为例）

Answer 1

解：（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
故函数在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程的同号的相异实数根．
∵x²﹣3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，
∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞）
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，
则
故m、n是方程，
即a²x﹣（a²+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵，
∴m，n同号，只须△=a²（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，
∵，
∴当a=3时，n﹣m取最大值
（3）如：y=﹣x+2和谐区间为、[0，2，]，[﹣1，3，]，当a+b=2的区间[a，b]；
和谐区间为[0，，1]，和谐区间为[﹣1，0，]