Question

20．已知函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x．
（1）解不等式：f（x²-x-2）+1＞-log₂（x-1）；
（2）设函数g（x）=[$\frac{1}{2}$f（x）]²-f（$\sqrt{x}$）+5，求x∈[2，4]时，函数g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的定义域为（0，+∞），结合对数的运算性质，可将原不等式化为$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x-2＞0\\ x-1＞0\\ \frac{1}{2}（{x}^{2}-x-2）（x-1）＞1\end{array}\right.$，解得答案；
（2）令t=f（x），则t∈[-2，-1]，则f（$\sqrt{x}$）=$\frac{1}{2}$t，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最值．

解答 解：（1）函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的定义域为（0，+∞），
若f（x²-x-2）+1＞-log₂（x-1）
则log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）+log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$+log₂（x-1）＞0，
即log${\;}_{\frac{1}{2}}$[$\frac{1}{2}$（x²-x-2）（x-1）]＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x-2＞0\\ x-1＞0\\ \frac{1}{2}（{x}^{2}-x-2）（x-1）＞1\end{array}\right.$，
解得：x＞1+$\sqrt{2}$，
故原不等式的解集为（1+$\sqrt{2}$，+∞），
（2）∵x∈[2，4]，令t=f（x），则t∈[-2，-1]，则f（$\sqrt{x}$）=$\frac{1}{2}$t，
则y=g（x）=[$\frac{1}{2}$f（x）]²-f（$\sqrt{x}$）+5=（$\frac{1}{2}$t）²-$\frac{1}{2}$t+5=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$t+5，
∵y=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$t+5的图象是开口朝上，且以直线t=1为对称轴的抛物线，
故y=$\frac{1}{4}{t}^{2}$-$\frac{1}{2}$t+5在t∈[-2，-1]时为减函数，
故当t=-2时，函数取最大值7，当t=-1时，取最小值$\frac{23}{4}$

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数不等式的解法，二次函数的图象和性质，难度中档．