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已知过点A(0,1),B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.
【答案】分析:分两种情况:(1)B点刚好为圆与x轴相切的切点,所以B在x轴上得到a=0,因为直线AB的中垂线与x=4的交点为圆心,
所以先求出中垂线方程,方法是利用中点坐标公式求出A与B的中点坐标,根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出斜率,然后与x=4联立可得圆心坐标,圆心的纵坐标为半径,得到相应圆的方程;(2)AB与x轴平行时即得到a=1,圆与x轴相切,得到AB的中垂线方程为x=2,设出圆心坐标,根据圆心到A的距离等于圆心的纵坐标求出圆心坐标,而圆的半径为圆心的纵坐标,得到圆的方程.
解答:解:(1)设圆心坐标为(x,y),B点为切点时,B在x轴上,所以a=0.则B(4,0),所以AB的中点坐标为(2,),直线AB的斜率为=-,则AB中垂线的斜率为4,所以AB中垂线的方程为y-=4(x-2)与x=4联立解得x=4,y=,所以圆的方程为:(x-4)2+=

(2)当a=1时,AB与x轴平行,则AB的中垂线方程为x=2,设圆心坐标为(2,y),根据勾股定理得:y2=22+(y-1)2,解得y=,所以圆的方程为:(x-2)2+=
综上:当a=0时,相对应的圆的方程为:(x-4)2+=;当a=1时,相对应的圆的方程为:(x-2)2+=
点评:此题是一道综合题,要求学生会根据两点坐标求其中垂线方程,利用运用圆的性质定理,会根据圆心和半径写出圆的标准方程.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1),且方向向量为
a
=(1,k)
的直线l与⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1,相交于M、N两点.
(1)求实数k的取值范围;
(2)求证:
AM
AN
=定值;
(3)若O为坐标原点,且
OM
ON
=12,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1)斜率为k的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点.
①求实数k的取值范围;
②求线段MN的中点轨迹方程;
③求证:
AM
AN
为定值;
④若O为坐标原点,且
OM
ON
=12
,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1)的直线l,斜率为k,与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M、N两个不同点.
(1)求实数k取值范围;
(2)若O为坐标原点,且
OM
ON
=12
,求k的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知过点A(0,1)的直线l与抛物线C:y=x2交于M,N两点,又抛物线C在M,N两点处的两切线交于点B,M,N两点的横坐标分别为x1,x2
(1)求x1x2的值;
(2)求B点的纵坐标t的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知过点A(0,1),B(4,a)且与x轴相切的圆只有一个,求a的值及所对应的圆的方程.

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