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【题目】F1F2分别是椭圆E ab0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆EAB两点,|AF1|=3|BF1|,若cosAF2B=,则椭圆E的离心率为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

|F1B|=kk0),则|AF1|=3k|AB|=4k

|AF2|=2a-3k|BF2|=2a-k

cosAF2B=

ABF2中,由余弦定理得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cosAF2B

4k2=2a-3k2+2a-k2-2a-3k)(2a-k),

化简可得(a+k)(a-3k=0,而a+k0,故a=3k

|AF2|=|AF1|=3k|BF2|=5k

|BF2|2=|AF2|2+|AB|2

AF1AF2

∴△AF1F2是等腰直角三角形,

c=a

椭圆的离心率e=

故选:D

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