【题目】设F1,F2分别是椭圆E: (a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
设|F1B|=k(k>0),则|AF1|=3k,|AB|=4k,
∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k
∵cos∠AF2B=,
在△ABF2中,由余弦定理得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B,
∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)(2a-k),
化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k,
∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,
∴AF1⊥AF2,
∴△AF1F2是等腰直角三角形,
∴c=a,
∴椭圆的离心率e=,
故选:D.
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【题目】已知圆与圆,点在圆上,点在圆上.
(1)求的最小值;
(2)直线上是否存在点,满足经过点由无数对相互垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,并且直线被圆所截得的弦长等于直线被圆所截得的弦长?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的极坐标方程为,圆与直线交于, 两点, 点的直角坐标为.
(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)求的值.
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【题目】已知A={x|(2x)2﹣62x+8≤0},函数f(x)=log2x(x∈A).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数h(x)=[f(x)]2﹣log2(2x),求函数h(x)的值域.
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【题目】已知椭圆,定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程;
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为,对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”,求的取值范围;
(3)当, 时,直线交椭圆于, 两点,若点, 的“伴随点”分别是, ,且以为直径的圆经过坐标原点,求的面积.
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【题目】已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1﹣x)其中(a>0且a≠1),设h(x)=f(x)﹣g(x).
(1)求函数h(x)的定义域,判断h(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若f(3)=2,求使h(x)<0成立的x的集合.
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【题目】如图,三棱柱ABC-A1B1Cl中,M,N分别为CC1,A1B1的中点.
(I)证明:直线MN//平面CAB1;
(II)BA=BC=BB1,CA=CB1,CA⊥CB1,∠ABB1=60°,求平面AB1C和平面A1B1C1所成的角(锐角)的余弦值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,点 的极坐标是,曲线 的极坐标方程为.以极点为坐标原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为 的直线 经过点.
(1)写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程;
(2)若直线 和曲线相交于两点,求的值.
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