Question

【题目】已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为_____．

Answer 1

【答案】4π

【解析】

设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积.

长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD＝2，AD，

作AE⊥BD于E，可得AEBD＝ABAD，所以AE，BE，

因为平面ABD⊥平面BCD，AE面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥面BCD，

由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1＝O1B﹣BE＝1，

所以OO1∥AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，

作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E＝OF，EF＝OO1，则OA＝OC＝OB＝OD＝R，

在△AFO中，OA2＝AF2+OF2＝（AE﹣EF）2+EO12即R2＝（OO1）2；①

在△BOO1中：OB2＝OO12+EO12，即R2＝OO12；②

由①②可得R2＝1，OO1＝0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π，

故答案为：4π