Question

8．已知函数f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$-m，且f（x）的最大值为1．
（1）求m的值及f（x）的对称轴方程；
（2）关于x的方程f（x）=λ在$x∈[0，\frac{2π}{3}]$上有两个不同的实数解，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-m，由题意可得2-m=1，可解得m的值，由2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的对称轴方程．
（2）由题意可求得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{λ+1}{2}$，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，从而由正弦函数的图象和性质可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}≤\frac{λ+1}{2}＜1}\\{-1＜\frac{λ+1}{2}≤-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$即可解得实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$-m
=sin2x+2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2x}{2}$-$\sqrt{3}-m$
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-m
又∵sin（2x+$\frac{π}{3}$）_max=1，f（x）的最大值为1．
∴由2-m=1，可得m=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
∴由2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的对称轴方程为：$x=\frac{π}{12}+\frac{k}{2}π，k∈Z$．
（2）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1=λ，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{λ+1}{2}$，
∵$x∈[0，\frac{2π}{3}]$，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，
函数y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{2π}{3}$]内的图象如图所示：

∵f（x）=λ在$x∈[0，\frac{2π}{3}]$上有两个不同的实数解，由正弦函数的图象和性质可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}≤\frac{λ+1}{2}＜1}\\{-1＜\frac{λ+1}{2}≤-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
从而解得实数λ的取值范围为：$λ∈（-3，-1-\sqrt{3}]∪[\sqrt{3}-1，1）$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，不等式的解法及应用，属于基本知识的考查．