Question

已知函数y=

3

sinx+cosx，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx （x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析：（1）本小题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．
（2）图象变换过程中只有平移没有伸缩，这样就降低了本题的难度，同学们不会在平移的大小上出错．

解答：解：（1）y=

3

sinx+cosx
=2（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）
=2sin（x+

π

6

），x∈R
y取得最大值必须且只需
x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

3

+2kπ，k∈Z．
所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
{x|x=

π

3

+2kπ，k∈Z}．
（2）变换的步骤是：
①把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=2sin（x+

π

6

）的图象；
经过这样的变换就得到函数y=

3

sinx+cosx的图象．

点评：三角变换过程中最后结果应满足下列要求：i函数种类应尽可能少；ii次数应尽可能低；iii项数尽可能少；iv尽可能不含分母；v尽可能去掉括号．若是研究三角函数的性质，最后结果一定是y=Asin（ωx+φ）的形式．