Question

【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．
（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．
（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；
（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；

选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．

（Ⅱ）（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2. ； ； ．

故随机变量X的分布列为

X	0	1	2
p

（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X）=6000+500X，

所以随机变量Y的数学期望为

E（Y）=6000+500E（X）

=6000+500（ ）

=6500．

（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．

所以随机变量Y的分布列为

Y	6000	6500	7000
p

所以随机变量Y的数学期望为

E（Y）= =6500

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质即可得出．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2．利用“超几何分布列的计算公式与性质”即可得出．（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4﹣X），可得随机变量Y的数学期望为E（Y）=6000+500E（X）．（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．求出随机变量Y的分布列，进而得出数学期望．
【考点精析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．