Question

已知常数a＞0且a≠1，变数x、y满足 3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），试以a、t表示y．
（2）若t∈{t|t²-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值．

Answer 1

分析：（1）由题意利用换底公式可得 log_ay=(logax)2-3log_ax+3，再由x=a^t（t≠0），可得 log_ax=t，由此可用a、t表示y．
（2）由t²-4t+3≤0可得 1≤t≤3．分0＜a＜1和a＞1两种情况，并根据y有最小值8，求得a的值，由此求得对应的x的值．

解答：解：（1）∵3log_xa+log_ax-log_xy=3，由换底公式可得

3

logax

+log_ax-

logay

logax

=3，
解得 log_ay=(logax)2-3log_ax+3．
若x=a^t（t≠0），则 log_ax=t，
∴log_ay=t²-3t+3，∴y=a(t2-3t+3)．
（2）由t²-4t+3≤0可得 1≤t≤3．
当0＜a＜1时，由于y有最小值8，故函数u=t²-3t+3=(t-

3

2

)2+ 

3

4

 必有最大值，故当 t=3时，函数u取得最大值为3，即 a³=8，a=2，这与0＜a＜1矛盾．
当a＞1时，由于y有最小值8，故函数u=t²-3t+3=(t-

3

2

)2+ 

3

4

必有最小值，故当 t=

3

2

时，函数u取得最小值为

3

4

，即a

3

4

=8，a=16，此时x=64．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，二次函数的性质应用，属于中档题．