Question

设x₁，x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）证明：|b|≤

4 3

9

．
（2）若g（x）=f'（x）-2a（x-x₁），证明当x₁＜x＜2时，且x₁＜0时，|g（x）|≤4a．

Answer 1

分析：（1）先求出导函数，据导数在极值点处的值为0，得到x₁，x₂是方程f'（x）=ax²+bx-a²=0的两个根．再利用二次方程的韦达定理求出x₁，x₂与a的关系，且判断出它们异号，将韦达定理代入|x₁|+|x₂|=2，求出b的范围．
（2）先求出g（x），利用x₁，x₂异号，判断出x₂＞0，从而将绝对值符号去掉，利用基本不等式得到不等式|g（x）|≤4a

解答：解：（1）f'（x）=ax²+bx-a²．
由x₁，x₂是函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x(a＞0)的两个极值点，
知x₁，x₂是方程f'（x）=ax²+bx-a²=0的两个根．
所以，

x1+x2=- b a x1x2=-a

又因为a＞0，所以，x₁，x₂异号，
所以，2=|x₁|+|x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

．
即b²=a²（4-4a），其中0＜a≤1．
设u（a）=a²（4-4a），
则u'（a）=8a-12a²．
所以，u（a）在(0，

2

3

]上单调递增，在[

2

3

，1)单调递减．
所以，当0＜a≤1时，u(a)≤u(

2

3

)=

16

27

即b2≤

16

27

，所以，|b|≤

4 3

9

．
（2）g（x）=f'（x）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂）-2a（x-x₁）=a（x-x₁）（x-x₂-2），
因为x₁x₂=-a＜0，且x₁＜0，所以，x₂＞0，
所以，当x₁＜x＜2时，
|g(x)|=a(x-x1)(x2+2-x)≤a[

(x-x1)+(x2+2-x)

2

]2=4a．

点评：解决函数的极值问题，常利用性质：导数在极值点处的导数值为0；利用基本不等式求函数的最值，要注意使用的条件：一正、二定、三相等．