Question

已知函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为

4

．

Answer 1

分析：求出定点A（1，1），由点A在直线

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，可得

1

m

+

1

n

=1，再由 m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

，利用基本不等式求出m+n的最小值．

解答：解：∵函数y=a^1-x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线

x

m

+

y

n

=1（m＞0，n＞0）上，
∴

1

m

+

1

n

=1，∴m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

．
∵m＞0，n＞0，由基本不等式可得

n

m

+

m

n

≥2，当且仅当

n

m

=

m

n

时，等号成立．
再由

1

m

+

1

n

=1可得，当且仅当 m=n=2时，等号成立．
故 m+n=2+

n

m

+

m

n

≥4，当且仅当 m=n=2时，等号成立．
故m+n的最小值为4，
故答案为 4．

点评：本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，基本不等式的应用，得到 m+n=（ m+n）（

1

m

+

1

n

），是解题的关键，属于基础题．