Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=1+S_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和R_n．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=1+S_n（n∈N^*），变形为a_n=1+S_n-1（n＞1），两式相减，再利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）求得数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}为{n•（$\frac{1}{2}$）^n-1}，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=1+S_n（n∈N^*），
∴a_n=1+S_n-1（n＞1）
两式相减可得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，
即有a_n+1=2a_n，由a₂=2，
可得a_n=a₂•2^n-2=2^n-1，
对n=1也成立，
则a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}为{n•（$\frac{1}{2}$）^n-1}，
前n项和R_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁰+2•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$R_n=1•（$\frac{1}{2}$）¹+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得$\frac{1}{2}$R_n=1+（$\frac{1}{2}$）¹+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得前n项和R_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，数列的求和方法：错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．