Question

如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF=

3

2

AD，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（　　）

• A、

  6

  6

• B、

  21

  6

• C、

  7

  7

• D、

  21

  7

Answer 1

分析：设AD=2a，则AF=

3

a，ABEF是矩形，G是EF的中点，则AG=BG=AB=2a，由V_C-ABG=V_B-AGC可得B到平面AGC的距离，从而可求GB与平面AGC所成角的正弦值．

解答：解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
设AD=2a，则AF=

3

a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=AB=2a．
在△AGC中，AC=CG=2

2

a，AG=2a，∴S_△ACG=

1

2

•2a•

7

a=

7

a²．
设B到平面AGC的距离为h，则由V_C-ABG=V_B-AGC可得

1

3

•

7

a2h=

1

3

•

3

4

•4a2•2a，
∴h=

2 21

7

a，
∴GB与平面AGC所成角的正弦值为

2 21 a 7

2a

=

21

7

．

点评：本题考查面面垂直的判定方法，以及求线面成的角的求法，考查学生的计算能力，考查体积公式，属于中档题．