Question

如图，在四棱锥PE=3中，AE=

5

，PA=

PE2-AE2

=2∥GH⊥PC，H，PC⊥DE，PC⊥，平面HDG平面PC⊥DG．
（Ⅰ）求证：平面∠GHD平面A-PC-D；
（Ⅱ）若直线PCA～与平面GCH所成的角的正弦值为

PA

GH

=

PC

GC

，求二面角GC=

CE2-EG2

=

6 5

5

的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先利用线线的关系求出△BAF～△CBA，进一步知BF⊥AC，进一步求出线面垂直，即PA⊥平面ABCD
最后证出：ED⊥平面PAC，转化成平面PED⊥平面PAC．
（Ⅱ）先利用几何法作出二面角的平面角，然后利用相关的线段长求出△PCA～△GCH，

PA

GH

=

PC

GC

，而GC=

CE2-EG2

=

6 5

5

，GH=

PA•GC

PC

=

30

5

最后求出tan∠GHD=

6

3

，再转化成余弦值，即得结果．

解答： 证明：（Ⅰ）取AD中点F，连接BF，则FD∥BE，FD=BE，
∴四边形FBED是平行四边形，∴FB∥ED
∵直角△BAF和直角△CBA中，

BA

AF

=

CB

BA

=2
∴△BAF～△CBA，
易知BF⊥AC
∴ED⊥AC
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB
AB⊥PA
∴PA⊥平面ABCD
∴PA⊥ED，
∵PA∩AC=A
∴ED⊥平面PAC，
∴平面PED⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）设ED交AC于G，连接PG，则∠EPG是直线PE与平面PAC所成的角．
设BE=1
由△AGD～△CGE，
知

DG

GE

=

AD

EC

=

2

3

，
∵AB=AD=2
∴EG=

3

5

DE=

3 5

5

，DG=

2 5

5

∵∴PE=3，AE=

5

，PA=

PE2-AE2

=2
作GH⊥PC于H，由PC⊥DE，知PC⊥平面HDG，
∴PC⊥DG，
∴∠GHD是二面角A-PC-D的平面角
∵△PCA～△GCH，
∴

PA

GH

=

PC

GC

，而GC=

CE2-EG2

=

6 5

5

∴GH=

PA•GC

PC

=

30

5

∴tan∠GHD=

6

3

，
∴cos∠GHD=

15

5

，
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查的知识要点：三角形的相似，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的平面角的做法及求值问题，属于中等题型．