Question

14．某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上（如图）．该股票在30天内（包括第30天）的日交易量Q（万股）与时间t（天）的函数关系式为Q=40-t（0≤t≤30且t∈N）．
（1）根据提供的图象，求出该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；
（2）用y（万元）表示该股票日交易额（日交易额=日交易量×每股的交易价格），写出y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少．

Answer 1

分析 （1）根据图象可知此函数为分段函数，在（0，20]和（20，30]两个区间利用待定系数法分别求出一次函数关系式联立可得P的解析式；
（2）因为Q与t成一次函数关系，根据表格中的数据，取出两组即可确定出Q的解析式；根据股票日交易额=交易量×每股较易价格可知y=PQ，可得y的解析式，分别在各段上利用二次函数求最值的方法求出即可．

解答 解：（1）设表示前20天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P=k₁t+m，
由图象得：$\left\{\begin{array}{l}{2{=k}_{1}×0+m}\\{6{=k}_{1}×20+m}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{1}{5}}\\{m=2}\end{array}\right.$，即P=$\frac{1}{5}$t+2；        …（3分）
设表示第20天至第30天每股的交易价格P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为P=k₂t+n，
即P=-$\frac{1}{10}$t+8．…（6分）
综上知P=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}t+2，0≤t＜20}\\{-\frac{1}{10}t+8，20≤t≤30}\end{array}\right.$（t∈N）．…（7分）
（2）由（1）可得y=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{5}t+2）××（40-t），0≤t＜20}\\{（-\frac{1}{10}t+8）×（40-t），20≤t≤30}\end{array}\right.，（t∈N）$．
即y=$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{5}t}^{2}+6t+80，0≤t＜20}\\{{\frac{1}{10}t}^{2}-12t+320，20≤t≤30}\end{array}\right.（t∈N）$（t∈N）．…（10分）
当0≤t＜20时，函数y=-$\frac{1}{5}$t²+6t+80的图象的对称轴为直线t=15，
∴当t=15时，y_max=125；
当20≤t≤30时，函数y=$\frac{1}{10}$t²-12t+320的图象的对称轴为直线t=60，
∴该函数在[20，30]上单调递减，即当t=20时，y_max=120．
而125＞120，
∴第15天日交易额最大，最大值为125万元． …（13分）

点评 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，理解分段函数的能力．