Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S₃=，S₆=，b_n=λa_n-n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S₃=，S₆=，
∴q≠1，
∴=，=，
得：1+q³=，
∴q=-，a₁=2．
∴a_n=2×．
（Ⅱ）∵b_n=λa_n-n²，
∴b_n=2λ-n²，
由题意可知对任意n∈N^*，数列{b_n}单调递减，
∴b_n+1＜b_n，
即2λ-（n+1）²＜=2λ-n²，
即6λ＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，
当n是奇数时，λ＞-，当n=1时，-取得最大值-1，故λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜，当n=2时，取得最小值，故λ＜．
综上可知，-1＜λ＜，即实数λ的取值范围是（-1，）．
分析：（Ⅰ）利用等比数列的求和公式列方程可求得q，从而可得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由于b_n=2λ-n²，数列{b_n}单调递减，b_n+1＜b_n，可得6λ＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，对n分奇数与偶数讨论即可求得实数λ的取值范围．
点评：本题考查等比数列的性质，考查数列的函数特性，在（Ⅱ）中，求得“6λ＜2n+1对任意n∈N^*恒成立”是关键，也是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．