Question

（2012•盐城三模）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：
①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为cv²（c为正常数）；
②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；
③返回水面时，平均速度为

v

2

（米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
（1）将y表示为v的函数；
（2）设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

Answer 1

分析：（1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可得到总用氧量的函数；
（2）利用基本不等式可得v=

2 5c

时取等号，再结合0＜v≤5，即可求得确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

解答：解：（1）潜入水底用时

30

v

，用氧量为

30

v

×cv2=30cv，水底作业时用氧量为5×0.4=2，返回水面用时

60

v

，用氧量为

60

v

×0.2=

12

v

，
∴总用氧量y=30cv+2+

12

v

（v＞0）；
（2）y=30cv+2+

12

v

≥2+2

30cv× 12 v

=2+12

10c

，当且仅当30cv=

12

v

，即v=

2 5c

时取等号
当

2 5c

≤5，即c≥

2

125

时，v=

2 5c

时，y的最小值为2+12

10c

，
当

2 5c

＞5，即c＜

2

125

时，y′=

30cv2-12

v2

＜0，
∴函数在（0，5]上为减函数
∴v=5时，y的最小值为150c+

22

5

．
综上，当c≥

2

125

时，下潜速度为v=

2 5c

时，用氧量最小值为2+12

10c

；
当c＜

2

125

时，下潜速度为5时，用氧量最小值为150c+

22

5

．

点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，考查分类讨论的数学思想．