Question

已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）；（2）单调递增区间是和，单调递减区间是；（3）

试题分析：（Ⅰ）由函数，得，又由曲线在和处的切线互相平行，则两切线的斜率相等地，即，因此可以得到关于的等式，从而可求出.
（Ⅱ）由，令，则，，因此需要对与0，，2比较进行分类讨论：①当时，在区间上有，在区间上有；②当时，在区间和上有，在区间上有；③当时，有；④当时，区间和上有，在区间上有，综上得的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（Ⅲ）由题意可知，在区间上有函数的最大值小于的最大值成立，又函数在上的最大值，由（Ⅱ）知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故；②当时，在上单调递增，在上单调递减，，由可知，，，所以，，；综上所述，所求的范围为.
试题解析：.                                 2分
（Ⅰ），解得.                                    3分
（Ⅱ）.                                5分
①当时，，，
在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.          6分
②当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.     7分
③当时，， 故的单调递增区间是.    8分
④当时，，
在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是.     9分
（Ⅲ）由已知，在上有.                    10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，
①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故.      11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.
由可知，，，
所以，，，                             13分
综上所述，.                                          14分