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已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,
2
2
),
(1)求函数y=f(x)的解析式,并用描点法画出函数f(x)的图象
(2)用定义证明函数的单调性.
分析:(1)根据幂函数的特点,设所求的幂函数解析式是y=xα.再将点(2,
2
2
),的坐标值代入解析式,求得α的值.即可求得幂函数的具体解析式,再列表描点画图,首先列表,再根据表中的x、y对应坐标值,描点,画出函数的图象.
(2)先求出函数的定义域再作出判断,然后再用定义法证明,可任取0<x1<x2,用定义证明.
解答:解:(1)由于幂函数y=f(x)的图象过点(2,
2
2
),
设所求的幂函数解析式是y=xα.由于所求图象过点(2,
2
2
),
可得2α=
2
2

解得α=-
1
2
,所以函数y=f(x)的解析式f(x)=
1
x
,(x>0).
列表:
 x
1
16
 
1
4
 
1 4 9
 y 2 1
1
2
1
3
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数在定义域上是减函数,证明如下:
任取0<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=
1
x1?
-
1
x2?
=
x2?
-
x1?
x1?
×
x2?

=
x2-x1
(
x2?
+
x1?
)
x1?
×
x2?

∵0<x1<x2
∴x2-x1>0,
x1
>0,
x2
>0,
x1
+
x2
>0

∴f(x1)>f(x2
∴f(x)在(0,+∞),上是单调减函数.
点评:本题考查幂函数的性质、函数单调性的判断与证明,本注意作题的格式先判断后证明,用定义法证明时要注意证明的格式.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知幂函数y=f(x)的图象过点(
12
,8)
,则f(-2)=
 

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已知幂函数y=f(x)经过点(2,
12
)

(1)试求函数解析式;
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间;
(3)试解关于x的不等式f(3x+2)+f(2x-4)>0.

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已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,
2
)
,则f(x)=
x
x

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已知幂函数y=f(x)的图象经过点(2,
2
),则f(4)=(  )

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已知幂函数y=f(x)的图象过(2,
2
2
)
,则可以求出幂函数y=f(x)是(  )

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