【题目】已知椭圆:
的长轴长为6,且椭圆
与圆
:
的公共弦长为
.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于两点
,
,试判断在
轴上是否存在点
,使得
为以
为底边的等腰三角形.若存在,求出点
的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由长轴长可得值,公共弦长恰为圆
直径,可知椭圆经过点
,利用待定系数法可得椭圆
方程;(2)可令直线
的解析式为
,设
,
的中点为
,将直线方程与椭圆方程联立,消去
,利用根与系数的关系可得
,由等腰三角形中
,可得
,得出
中
.由此可得
点的横坐标
的范围.
试题解析:(1)由题意可得,所以
.由椭圆
与圆
:
的公共弦长为
,恰为圆
的直径,可得椭圆
经过点
,所以
,解得
.所以椭圆
的方程为
.
(2)直线的解析式为
,设
,
的中点为
.假设存在点
,使得
为以
为底边的等腰三角形,则
.由
得
,故
,所以
,
.因为
,所以
,即
,所以
.当
时,
,所以
;当
时,
,所以
.
综上所述,在轴上存在满足题目条件的点
,且点
的横坐标的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑,某班同学准备测量观光塔的高度
(单位:米),如图所示,垂直放置的标杆
的高度
米,已知
,
.
(1)该班同学测得一组数据:
,请据此算出
的值;
(2)该班同学分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到观光塔的距离(单位:米),使
与
的差较大,可以提高测量精确度,若观光塔高度为136米,问
为多大时,
的值最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下表给出三种食物的维生素含量及其成本:
|
| ||
维生素A(单位/千克) | 4000 | 5000 | 300 |
维生素B(单位/千克) | 700 | 100 | 300 |
成本(元/千克) | 6 | 4 | 3 |
现欲将三种食物混合成本100千克的混合食品,要求至少含35000单位维生素A,40000单位维生素B,采用何种配比成本最小?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我校举行的 “青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
组别 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2组 | [60,70) | a | ▓ |
第3组 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4组 | [80,90) | ▓ | 0.08 |
第5组 | [90,100] | 2 | b |
合计 | ▓ | ▓ |
(1)求出的值;
(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会,求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的众数、中位数和平均数。
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